三角形数、算术数列和几何数列
因为它们在二项式系数里还会出现，让我们花点时间复习一下三角形数。这一数列的第n项，记为tn，定义为前n个正整数的和。它的值依赖于n，可以用下面这个技巧来计算。我们将刚刚提到的和的形式写作tn，接着以倒序再写一遍：
tn=1＋2＋3＋…＋(n-2)＋(n-1)＋n；
tn=n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋3＋2＋1。
例如，取a=1和b=2，则前n个奇数之和为 n＋(n-1)=n＋n2-n=n2，即n的平方。
如果把加法操作替换为乘法，算术数列就变成了几何数列[1]（geometric series）。算术数列中，相邻两项相差一个公差（common difference），即我们的b。换句话说，从一项到下一项，我们要加上b。几何数列中，我们还是取一个任意数a为首项，但是通过乘一个固定的数——称为公比（common ratio），得到下一项。这个比值记为r。也就是说，典型的几何数列具有a，ar，ar2，…的形式，其第n项为arn-1。就像算术数列一样，几何数列的前n项和也有一个公式[2]：